Johannes Wübbe wurde im Emsland, in Lengerich, geboren. Ab 1985 studierte er Theologie in Münster und Freiburg. Im Osnabrücker Dom wurde er 1993 vom damaligen Bischof Ludwig Averkamp zum Priester geweiht. Sein Wahlspruch lautet: IN SPE CREDERE – Voll Hoffnung glauben (Röm 4,18). Anschließend war Wübbe Kaplan in Osnabrück und Meppen.
Im Jahr 2000 wurde er zum Jugendseelsorger des Bistums ernannt, gleichzeitig war er auch Präses des Bundes der Deutschen Katholischen Jugend (BDKJ) im Bistum Osnabrück.
Papst Franziskus ernannte ihn am 18. Juni 2013 zum Weihbischof in Osnabrück und zum Titularbischof von Ros Cré. Der Osnabrücker Bischof Franz-Josef Bode spendete ihm die Bischofsweihe am 1. September 2013 im Dom St. Peter zu Osnabrück.
Als Weihbischof nahm Johannes Wübbe 2018 als einer von vier Delegierten aus Deutschland an der Weltbischofssynode zum Thema „Jugend“ in Rom teil. Im Herbst 2021 wählten ihn die deutschen Bischöfe zum Vorsitzenden der Jugendkommission der Deutschen Bischofskonferenz.
Nach dem Rücktritt von Bischof Franz-Josef Bode ist er seit März 2023 Diözesanadministrator für das Bistum Osnabrück.
