Bozanic studierte in Zagreb und an der Gregoriana in Rom Theologie. Das Lizenziat in Kirchenrecht erwarb er an der römischen Lateran-Universität. Er wurde Generalvikar der Diözese Krk, dann 1989 für wenige Monate Weihbischof und schließlich Bischof dort.
1997 folgte er Kardinal Franjo Kuharic als Erzbischof in der kroatischen Hauptstadt. Von 1997 bist 2007 war er Vorsitzender der Kroatischen Bischofkonferenz. Papst Benedikt XVI. erhob ihn 2003 in den Kardinalsrang.
Aufruf zur Achtung kroatischer Minderheit in Serbien
Im Juni 2012 kam Bozanic in Zagreb mit dem serbisch-orthodoxen Patriarchen Irinej zu einem als historisch bewerteten Treffen zusammen. In einer gemeinsamen Erklärung riefen sie zur Achtung der Rechte der kroatischen Minderheit in Serbien und der serbischen Minderheit in Kroatien auf.