Tscherrig wurde am 3. Februar 1947 als ältestes von acht Kindern einer Bergbauernfamilie in Unterems im Oberwallis geboren. Seine Kindheit und Jugend waren geprägt von den einfachen Verhältnissen des ländlichen Raums und einer tiefen katholischen Frömmigkeit, wie sie im Wallis traditionell verwurzelt ist.
Nach dem Besuch der Grundschule in Unterems wechselte er 1961 an das Kollegium Brig, wo er 1968 die Matura ablegte. Anschließend studierte er Philosophie und Theologie am Priesterseminar in Sitten sowie an der Universität Fribourg, wo er 1974 das Lizenziat in katholischer Theologie erwarb.
Tscherrig empfing seine Priesterweihe am 11. April 1974 für das Bistum Sitten. Noch im selben Jahr begann er ein Promotionsstudium an der Päpstlichen Universität Gregoriana in Rom.
In seiner Dissertation im Fach Kirchenrecht beschäftigte er sich mit dem Wesen des Ökumenischen Konzils und analysierte die Entwicklung dieses Begriffs von Trient bis zum Codex Iuris Canonici. Parallel dazu absolvierte er die Ausbildung an der Päpstlichen Diplomatenakademie, wodurch er die Weichen für seine spätere Laufbahn im diplomatischen Dienst des Heiligen Stuhls stellte.
Nach Abschluss seiner Studien trat Tscherrig am 1. April 1978 dann also in den diplomatischen Dienst des Heiligen Stuhls ein. Seine ersten Stationen führten ihn an die Nuntiaturen in Uganda, Südkorea und Bangladesch, wo er früh Erfahrungen in unterschiedlichen kulturellen und politischen Kontexten sammelte.
Ab 1985 war er im Staatssekretariat des Heiligen Stuhls in Rom tätig und unterstützte als Assistent des Päpstlichen Reisemarschalls die Planung der Auslandsreisen von Papst Johannes Paul II. In dieser Zeit wurde er mit den Herausforderungen der Weltkirche und den vielfältigen Aufgaben der vatikanischen Diplomatie vertraut.
Papst Johannes Paul II. ernannte Tscherrig am 4. Mai 1996 zum Titularerzbischof von Voli und zum Apostolischen Nuntius in Burundi. Die Bischofsweihe empfing er am 27. Juni desselben Jahres im Petersdom. In Burundi war er in einer Phase tätig, die von politischen Spannungen und Gewalt geprägt war. Seine Aufgabe bestand darin, als Vermittler zwischen den Konfliktparteien zu wirken und die Präsenz des Heiligen Stuhls in einem von Krisen erschütterten Land zu sichern.
Die Ernennung zum Kardinal am 30. September 2023 durch Papst Franziskus markierte den Höhepunkt von Tscherrigs kirchlicher Laufbahn – und kam für alle überraschend. Er ist erst der zehnte Schweizer in der Geschichte der katholischen Kirche, der diese Würde erhielt, und neben Kurt Koch der zweite Schweizer im gegenwärtigen Kardinalskollegium.
