Die Priesterweihe empfing er am 29. Juni 1968 in Münster durch den damaligen Bischof Joseph Höffner, dem späteren Kölner Kardinal.
Von 1999 bis 2011 war Mussinghoff stellvertretender Vorsitzender der Deutschen Bischofskonferenz. Innerhalb der Konferenz leitete er die Kommission für Fragen der Wissenschaft und Kultur und die Unterkommission für die religiösen Beziehungen zum Judentum.
Seit 1995 gehört der Kirchenrechtsexperte dem obersten Gericht der Kirche, der Apostolischen Signatur in Rom, an. Zudem ist er Mitglied der vatikanischen Kleruskongregation.